La differenza tra vettori è un’operazione fondamentale nell’ambito della matematica e della fisica. In questo articolo, esploreremo in dettaglio cos’è la differenza tra vettori, come calcolarla e quali sono le sue proprietà. Impareremo anche come effettuare la somma e la differenza di vettori, insieme ad alcuni esercizi svolti per consolidare la comprensione dei concetti.
Prima di tutto, vediamo cos’è esattamente un vettore e come è rappresentato.
Cos’è un vettore?
Un vettore è una grandezza fisica caratterizzata da una direzione, un modulo e un verso. Può essere rappresentato graficamente come una freccia, dove la direzione indica l’orientamento del vettore, il modulo rappresenta la sua lunghezza e il verso indica se il vettore è orientato verso destra o verso sinistra.
Rappresentazione dei vettori
I vettori possono essere rappresentati in diverse forme, tra cui notazione cartesiana, notazione polare e notazione componenziale. Nella notazione cartesiana, un vettore è rappresentato come una coppia ordinata di numeri, che rappresentano le sue componenti lungo gli assi x e y. Ad esempio, il vettore u può essere rappresentato come u = (ux, uy).
La notazione polare rappresenta un vettore utilizzando il suo modulo e l’angolo che forma con un asse di riferimento. Ad esempio, il vettore v può essere rappresentato come v = |v|∠θ, dove |v| rappresenta il modulo di v e θ rappresenta l’angolo.
Infine, la notazione componentiale scompone un vettore in base alle sue componenti lungo gli assi x e y, rappresentandolo come v = uxi + uyj, dove i e j sono vettori unitari lungo gli assi x e y rispettivamente.
Differenza tra vettori
La differenza tra due vettori, indicata come u – v, è l’operazione che associa ai vettori u e v un terzo vettore, noto come vettore differenza. Per calcolare la differenza tra due vettori, si esegue la somma del primo vettore con l’opposto del secondo. L’opposto di un vettore v è un vettore -v che ha la stessa intensità e direzione di v, ma ha verso opposto.
Quindi, la differenza tra i vettori u e v può essere calcolata come u – v = u + (-v). Per esempio, dati i vettori u = (ux, uy) e v = (vx, vy), la loro differenza può essere espressa come u – v = (ux – vx, uy – vy).
Calcolo della differenza tra vettori
Per calcolare la differenza tra due vettori, si sottraggono le componenti dei vettori in modo indipendente. Ad esempio, per calcolare la differenza tra i vettori u = (3, 4) e v = (1, 2), sottraiamo le componenti corrispondenti: u – v = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2).
È importante notare che la differenza tra vettori è ancora un vettore, quindi condivide le stesse proprietà di direzione, modulo e verso.
Proprietà della differenza tra vettori
La differenza tra vettori ha diverse proprietà che possono semplificare i calcoli:
- La differenza di due vettori è commutativa, il che significa che l’ordine in cui si sottraggono i vettori non influisce sul risultato finale. Ad esempio, u – v = -(v – u).
- La differenza di due vettori è associativa, il che significa che quando si sottraggono tre o più vettori, il risultato finale è lo stesso indipendentemente dall’ordine in cui vengono sottratti. Ad esempio, (u – v) – w = u – (v + w).
- La differenza di un vettore con se stesso è il vettore nullo, ossia un vettore con modulo zero.
Somma e differenza di vettori: esercizi svolti
Per consolidare la comprensione della somma e della differenza di vettori, vediamo alcuni esercizi svolti:
Esercizio 1: Dati i vettori u = (3, -2), v = (1, 4) e w = (-2, 1), calcolare u + v – w.
Soluzione: Per calcolare la somma, sottrazione e differenza di vettori si procede componente per componente:
u + v – w = (3, -2) + (1, 4) – (-2, 1) = (3 + 1 + 2, -2 + 4 – 1) = (6, 1)
Quindi, u + v – w = (6, 1).
Esercizio 2: Dati i vettori a = (2, 3) e b = (1, 1), calcolare 2a – b.
Soluzione: Per calcolare la differenza in questo caso, moltiplichiamo il vettore a per un coefficiente e sottraiamo il vettore b:
2a – b = 2(2, 3) – (1, 1) = (4, 6) – (1, 1) = (4 – 1, 6 – 1) = (3, 5)
Quindi, 2a – b = (3, 5).
Somma tra vettori
Oltre alla differenza, un’altra operazione comune tra vettori è la somma. La somma tra due vettori è l’operazione che associa ai vettori una terza grandezza vettoriale, indicata come u + v. Per eseguire la somma tra vettori, si sommano le componenti corrispondenti dei vettori.
La somma tra vettori può essere eseguita anche geometricamente, posizionando la coda del secondo vettore sulla punta del primo e tracciando il vettore che collega l’estremità del primo vettore all’estremità del secondo.
Moltiplicazione tra vettori
La moltiplicazione tra vettori comprende due tipi di operazioni principali: il prodotto scalare e il prodotto vettoriale. Queste operazioni sono usate per calcolare le proprietà dei vettori e le relazioni tra di essi.
Il prodotto scalare tra due vettori produce uno scalare, mentre il prodotto vettoriale produce un altro vettore. Le formule per il prodotto scalare e il prodotto vettoriale dipendono dalle proprietà dei vettori coinvolti e dal tipo di operazione desiderata.
